Vijfenzestigduizend-vijfhonderdzevenendertighoek

Een vijfenzestigduizend-vijfhonderdzevenendertighoek of 65 537-hoek is een meetkundige figuur, een regelmatige veelhoek, met 65 537 hoeken en evenzoveel zijden. Het aantal hoeken en zijden van een veelhoek wordt meestal aangegeven met de letter ${\displaystyle n}$, dus is in dit geval ${\displaystyle n=65537}$, het grootste bekende fermat-priemgetal.

• De grootte ${\displaystyle \alpha }$ van een hoek van een regelmatige 65 537-hoek in graden is:

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot {{180}^{\text{o}}}={\frac {65535}{65537}}\cdot {{180}^{\text{o}}}={{179{,}994...}^{\text{o}}}}$

• De formule voor de oppervlakte ${\displaystyle A}$ van een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek waarvan de lengte van de zijde gelijk is aan ${\displaystyle z}$, luidt:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}n{{z}^{2}}\cot \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{n}}\right)}$

Voor ${\displaystyle n=65537}$ is dat:

${\displaystyle A={\frac {65537}{4}}\cdot {{z}^{2}}\cot \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{65537}}\right)\approx {\text{341}}{\text{.793}}{\text{.067}}{\text{,98}}\cdot {{z}^{2}}}$

• Voor de omtrek ${\displaystyle S_{in}}$ van een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek die in een cirkel^[1] is ingeschreven waarvan de lengte van de straal gelijk is aan ${\displaystyle 1}$, geldt:

${\displaystyle {{S}_{in}}=2n\cdot \sin \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{n}}\right)}$

Met ${\displaystyle n=65537}$ geeft dit:

${\displaystyle {{S}_{in}}=2\cdot 65537\cdot \sin \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{65537}}\right)\approx 6{,}283185}$

Hieruit volgt een benadering van het getal ${\displaystyle \pi }$ in ${\displaystyle 6}$ decimalen: ${\displaystyle 3{,}141.593}$ en dit is gelijk aan de werkelijke waarde van ${\displaystyle \pi }$ bij afronding op ${\displaystyle 6}$ decimalen. Een regelmatige 65 537-hoek valt daardoor vrijwel samen met zijn omgeschreven cirkel.

Het getal ${\displaystyle 65537}$ is een fermat-priemgetal, omdat het een priemgetal is en omdat:

${\displaystyle 65537={{2}^{{2}^{4}}}+1}$

Een regelmatige 65 537-hoek kan op grond van de stelling van Gauss-Wantzel met een passer en een ongemerkte liniaal worden geconstrueerd,^[2] maar de constructie van een dergelijke veelhoek kost uiteraard veel werk. Johann Gustav Hermes 1846-1912 uit Duitsland is de eerste die de constructie heeft uitgevoerd.^[3] Hij is in 1878 gepromoveerd op onderzoek naar priemgetallen en heeft 10 jaar, van 1879 tot 1889, over de beschrijving van de constructie gedaan.^[4][5]

Een 65 537-gram is een 65 537-zijdige regelmatige sterveelhoek. Omdat 65 537 een priemgetal is, zijn er 32 767 verschillende regelmatige vormen van 65 537-grammen. Deze sterveelhoeken hebben schläfli-symbool ${\displaystyle \{65537/n\}}$ en zijn er voor alle getallen ${\displaystyle n}$ met ${\displaystyle 2\leq n\leq 32768}$.^[6]