Hoek (meetkunde)

Uiterlijk naar zijbalk verplaatsen verbergen Twee snijdende lijnen met hoeken α en β daartussen, die samen 180° of π radialen groot zijn

Een hoek in de meetkunde is een figuur in een vlak gevormd door twee halfrechten, benen van de hoek geheten, met een gemeenschappelijk beginpunt, het hoekpunt.

Hoek wordt ook gebruikt voor de grootte van een draaiing. In het geval van een hoek in de eerste zin betreft dit een draaiing van een van de benen om het hoekpunt tot hij met de andere samenvalt. Duidelijk is dat deze beweging op twee manieren kan plaatsvinden, zodat door de halfrechten ook twee hoeken gevormd worden; deze hoeken vormen samen een cirkel ("volle hoek"). Zonder nadere bepaling rekent men meestal de kleinere van beide hoeken als de hoek gevormd door de halfrechten. Bij een veelhoek gaat het zonder nadere aanduiding om de binnenhoek, ook als die niet de kleinste van de twee is. Bij vectoren is de hoek maximaal een gestrekte.

Het snijpunt van de twee lijnen wordt wel hoekpunt genoemd. De hoek tussen twee lijnen is maximaal een rechte hoek.

Geschiedenis

Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 tot 300 v.Chr.) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een sexagesimaal talstelsel. Toenmalige wiskundigen verdeelden de drie gelijke hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, die dus overeenkwamen met de graden van nu. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten, ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd, en de minuut in 60 seconden of boogseconden.

De oude Grieken konden aan de hand van hoekmeting de omtrek van de Aarde en de afstand tot de Maan bepalen. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

Tekenen van een hoek

Een van de drie klassieke problemen van de Grieken was de driedeling van een willekeurige hoek met alleen passer en liniaal. Het was hun wel al gelukt een hoek in tweeën te delen en te verdubbelen, hoeken op te tellen en af te trekken, en bepaalde hoeken, onder andere van 54°, 60°, 72° en 90°, te tekenen. De constructie van een hoek van 54° gaat via een regelmatige drie- en vijfhoek. Daaruit kon een groot arsenaal afgeleide hoeken worden bepaald, maar niet alle hoeken! Pas in 1837 werd door Pierre Wantzel aangetoond dat de driedeling niet mogelijk is.

Het blijkt dat alleen hoeken, die een veelvoud van drie graden zijn, met passer en liniaal kunnen worden geconstrueerd.

Definitie

Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-stelsel wordt een hoek gemeten in radialen. Bij het meten van hoeken in radialen zal vaak het getal π (pi) een rol spelen. Zo is een cirkel gelijk aan 2π radialen.

In de landmeetkunde gebruikt men als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.

Overstaande hoeken zijn gelijk

Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder "de hoek" de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.

Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.

Eenheden

De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).

In het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°) gebruikelijker.

In de geodesie wordt de gon gebruikt.

De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten. Die is doorgaans gelijk aan de tangens van de hellingshoek, soms de sinus, uitgedrukt in procenten. Voor kleine hoeken zijn zowel de tangens als de sinus met goede benadering gelijk aan de hoek zelf, uitgedrukt in radialen.

In het leger wordt de volledige cirkel opgedeeld in 6300 of 6400 eenheden, mil genaamd. Deze van de radiaal afgeleide eenheid is eenvoudig te gebruiken bij het inschieten van artillerie, als een schot een doel op 1000 meter met 5 meter mist kan het stuk 5 mil gedraaid worden.

Conversies tussen de verschillende eenheden

2π rad = 360° = 400 gon

Conventies

In volgende figuur is ∠ C A B = − ∠ B A C {\displaystyle \angle {CAB}=-\angle {BAC}} . Hoek ∠ B A C {\displaystyle \angle {BAC}} is positief, hoek ∠ C A B {\displaystyle \angle {CAB}} is negatief. In de landmeetkunde is dit precies andersom. Ook bij een linkshandig coördinatensysteem, zoals dat van een computerbeeldscherm of -printer waar de positieve y-as naarbeneden wijst, zijn hoeken met de klok mee positief. α {\displaystyle \alpha } en β {\displaystyle \beta } zijn supplementaire hoeken (de ene is het supplement van de andere) als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig: α + β = π {\displaystyle \alpha +\beta =\pi } (180°); α {\displaystyle \alpha } en β {\displaystyle \beta } zijn complementaire hoeken (de ene is het complement van de andere) als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig: α + β = π 2 {\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}}} (90°)
Supplementaire hoeken Complementaire hoeken

Eigenschappen

Gelijke hoeken

In de drie hieronder staande gevallen is α = β {\displaystyle \alpha =\beta } :

overstaande hoeken
Hier is de rechte h {\displaystyle h} evenwijdig aan h ′ {\displaystyle h'} .
Opnieuw is h {\displaystyle h} evenwijdig aan h ′ {\displaystyle h'} , dit geval is eenvoudig uit de bovenstaande twee te halen

Hieronder zijn de rechte hoeken ( π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} rad) aangeduid met een boog en een punt:

hier is α = β {\displaystyle \alpha =\beta }
hier is α + β = π {\displaystyle \alpha +\beta =\pi }

Hoeken in regelmatige veelhoeken

In het euclidische vlak geldt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° ( π {\displaystyle \pi } rad) is, bij een vierhoek is de som 360° ( 2 π {\displaystyle 2\pi } rad).

Algemeen geldt voor een veelhoek met n {\displaystyle n} zijden, dat de som van de inwendige hoeken ( n − 2 ) π {\displaystyle (n-2)\pi } of ( n − 2 ) × 180 ∘ {\displaystyle (n-2)\times 180^{\circ }} is.

Op die manier kan eenvoudig afgeleid worden, dat de hoeken in een regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek) 60° ( π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} rad) zijn, in een regelmatige vierhoek (vierkant) 90° ( π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} rad).

Meer algemeen: de hoeken van een regelmatige n-hoek zijn elk n − 2 n × 180 ∘ {\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\times 180^{\circ }} oftewel n − 2 n π {\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\pi } rad.

Bepalen van een hoek

Meten

Een sextant

Een hoek kan rechtstreeks of als het verschil van twee richtingen gemeten worden met een:

Berekenen

Een hoek kan ook berekend worden, bijvoorbeeld uit met een liniaal gemeten afstanden of met gps bepaalde coördinaten. In dergelijke gevallen kan de hoek tussen de wiskundig beschreven lijnen of vlakken omgezet worden in een hoek tussen twee vectoren.

De hoek θ {\displaystyle \theta } tussen twee vectoren u {\displaystyle u} en v {\displaystyle v} kan berekend worden met:

cos ⁡ ( θ ) = u ⋅ v ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}}}

Waarbij gebruik gemaakt wordt van het inwendig product. Dit geldt meer algemeen in elke inwendig-productruimte.

Alternatief kan de hoek berekend worden met:

sin ⁡ ( θ ) = u × v ‖ u ‖   ‖ v ‖ {\displaystyle \sin(\theta )={\frac {u\times v}{\|u\|\ \|v\|}}}

Waarbij gebruik gemaakt wordt van het kruisproduct.

Voorbeelden van het omzetten naar een hoek tussen twee vectoren:

θ = 90 ∘ − α = π 2   rad − α {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\alpha ={\frac {\pi }{2}}\ {\text{rad}}-\alpha }

In hogerdimensionale ruimten is een hoek tussen twee snijdende rechten gewoon de hoek in het vlak van de rechten.

Normaalvector

Riemann-meetkunde

In de niet-Euclidische elliptische meetkunde van Bernhard Riemann die onder meer wordt toegepast in de algemene relativiteitstheorie wordt de metrische tensor gebruikt om de hoek tussen twee raaklijnen te bepalen. Met U en V raakvectoren en gij de komponenten van de metrische tensor G krijgen we voor de onderlinge hoek

cos ⁡ θ = g i j U i V j | g i j U i U j | | g i j V i V j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}

Gebruik

Definitie van de parsec

Een greep uit de talloze toepassingen:

Rol (roll), gier (yaw) en stamp (pitch)-hoeken

Verhouding tussen hoek, tijd en afstand op Aarde

Onderstaande tabel geeft de verhouding tussen de hoek vanuit het massamiddelpunt van de Aarde, de corresponderende aardrotatietijd en afstand over de aardbol op de evenaar.

Hoek Uurcirkel Afstand over de evenaar
Cirkel 360° 24u 40 075 016,686 m 21 638,777 908 nmi
Uur 15° 1u 1 669 792,362 m 901,615 746 nmi
Booggraad 1° 4m 111 319,491 m 60,107 716 nmi
Minuut 15′ 1m 27 829,873 m 15,026 929 nmi
Boogminuut 1′ 4s 1 855,325 m 1,001 795 nmi
Kilometer 32,339 4" 2,155 96s 1 000,000 m 0,539 957 nmi
Seconde 15″ 1s 463,831 m 0,250 449 nmi
Boogseconde 1″ 0,066 67s 30,922 m 0,016 697 nmi

"Hoek" in het dagelijks taalgebruik

Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:

Mediabestanden