In de topologie en aanverwante deelgebieden van de wiskunde is een omgeving een van de basisbegrippen voor een topologische ruimte. Het geeft een abstracte en precieze betekenis aan 'dichtbij'. Intuïtief gesproken is een omgeving van een punt een verzameling die dit punt omvat, en waarbij men vanuit dit punt infinitesimaal kleine verplaatsingen kan doen zonder deze verzameling te verlaten. Het punt ligt in het inwendige van de verzameling punten, maar niet op de rand ervan. Anders gezegd is een verzameling V {\displaystyle V} in het vlak een omgeving van een punt p {\displaystyle p} , wanneer een infinitesimaal kleine schijf rondom p {\displaystyle p} deel van V {\displaystyle V} uitmaakt. Vergelijk het met de grafiek.
Een open verzameling is altijd een omgeving voor alle punten die er van deel uitmaken. Een verzameling V {\displaystyle V} is open dan en slechts dan als V {\displaystyle V} een omgeving is van alle punten in V {\displaystyle V} .
Als X {\displaystyle X} topologische ruimte en p {\displaystyle p} een punt in X {\displaystyle X} is, dan is een omgeving van p {\displaystyle p} een verzameling V {\displaystyle V} , die een open verzameling U {\displaystyle U} bevat, zodat p {\displaystyle p} in U {\displaystyle U} ligt.
p ∈ U ⊆ V {\displaystyle p\in U\subseteq V} een .Dit betekent hetzelfde dat p ∈ X {\displaystyle p\in X} inwendig punt van V {\displaystyle V} is.
eenMerk op dat de omgeving V {\displaystyle V} vereniging is van open verzamelingen die allemaal een deelverzameling van V {\displaystyle V} zijn. De verzameling van alle omgevingen van een punt noemt men het omgevingssysteem van dat punt.
zelf geen open verzameling hoeft te zijn. Als V {\displaystyle V} open is dan wordt V {\displaystyle V} een open omgeving genoemd. Sommige auteurs definiëren omgevingen als open verzamelingen. Een verzameling V {\displaystyle V} die een omgeving van alle punten in V {\displaystyle V} is, is open, aangezien V {\displaystyle V} dan eenAls W {\displaystyle W} deelverzameling van X {\displaystyle X} is, dan is een omgeving van W {\displaystyle W} een verzameling V {\displaystyle V} die een open verzameling U {\displaystyle U} bevat die op zijn beurt weer W {\displaystyle W} bevat.
W ⊆ U ⊆ V {\displaystyle W\subseteq U\subseteq V} een .De volgende beweringen over een deelverzameling W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} zijn gelijkwaardig:
Een verzameling V {\displaystyle V} metrische ruimte M = ( X , d ) {\displaystyle M=(X,d)} is een omgeving van een punt p {\displaystyle p} , als er een open schijf S {\displaystyle S} met middelpunt p {\displaystyle p} en straal r {\displaystyle r} bestaat, zodanig dat
S ( p , r ) = { x ∈ X ∣ d ( x , p ) < r } {\displaystyle S(p,r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}} in eeneen deelverzameling is van V {\displaystyle V}
.V {\displaystyle V} vergelijking voor alle elementen p ∈ W {\displaystyle p\in W} van W {\displaystyle W} geldt.
wordt een omgeving van een verzameling W {\displaystyle W} genoemd, indien er een positief getal r {\displaystyle r} bestaat, zodanig dat dezelfdeDit is voor twee dimensies geschreven, maar geldt in het algemeen voor een willekeurig aantal dimensies.
Voor r > 0 {\displaystyle r>0}
Voorbeeld is de r {\displaystyle r} -omgeving S ( r ) {\displaystyle S(r)} van een verzameling W {\displaystyle W} de verzameling van alle punten in X {\displaystyle X} die op een afstand minder dan r {\displaystyle r} van W {\displaystyle W} liggen, of hetzelfde, S ( r ) {\displaystyle S(r)} is de vereniging van alle open schijven van straal r {\displaystyle r} die zijn gecentreerd op een punt in W {\displaystyle W} . Hieruit volgt rechtstreeks dat een r {\displaystyle r} -omgeving een uniforme omgeving is en dat een verzameling een uniforme omgeving is dan en slechts dan als de verzameling een r {\displaystyle r} -omgeving bevat voor enige waarde van r {\displaystyle r} .Gegeven de verzameling van de reële getallen R {\displaystyle \mathbb {R} } met de gebruikelijke euclidische metriek en een deelverzameling V {\displaystyle V} gedefinieerd als
V = ⋃ n ∈ N S ( n , 1 / n ) {\displaystyle V=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S(n\ ,\ 1/n)}dan is V {\displaystyle V} natuurlijke getallen, maar is V {\displaystyle V} geen uniforme omgeving van deze verzameling.
een omgeving voor de verzameling N {\displaystyle \mathbb {N} } van deBovenstaande definitie komt van pas als de notie van een open verzameling al is gedefinieerd. Er is echter een alternatieve manier om een topologie te definiëren, namelijk door eerst het omgevingssysteem te definiëren, en vervolgens open verzamelingen te definiëren als die verzamelingen die een omgeving van elk van hun punten bevatten.
Een omgevingssysteem op X {\displaystyle X} filter N ( x ) {\displaystyle N(x)} (op de verzameling X {\displaystyle X} ) aan elke x {\displaystyle x} in X , {\displaystyle X,} zodanig dat
de toekenning is van eenMen kan laten zien dat beide definities compatibel zijn, dat wil zeggen dat de topologie die wordt verkregen uit het omgevingssysteem dat is gedefinieerd door gebruik te maken van open verzamelingen de oorspronkelijk is en vice versa wanneer men start vanuit het omgevingssysteem.
Een geperforeerde omgeving van een punt p {\displaystyle p} interval ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} is bijvoorbeeld een omgeving van 0 op de reële lijn, zodanig dat de verzameling ( − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 1 ) ∖ { 0 } {\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}} een geperforeerde omgeving van 0 is. Merk op dat een geperforeerde omgeving van een gegeven punt in feite geen omgeving van dat punt is.
, soms ook een verwijderde omgeving genoemd, is een omgeving van p {\displaystyle p} , zonder { p } . {\displaystyle \{p\}.} HetIn de gewone topologie op de reële getallen is een verzameling, V {\displaystyle V} complement van V {\displaystyle V} strikt positief is. Deze eigenschap geldt in willekeurige metrische ruimten.
een omgeving van een getal r , {\displaystyle r,} dan en slechts dan als de afstand van dat getal tot hetIn een T 1 {\displaystyle T_{1}} scheidingsaxioma's spelen daarbij een rol.
-ruimte is x {\displaystyle x} het enige punt dat tot alle omgevingen van x {\displaystyle x} behoort. Deze eigenschap is kenmerkend voor T 1 {\displaystyle T_{1}} -ruimten. DeEen punt x {\displaystyle x} topologische sluiting van een verzameling V ⊂ X {\displaystyle V\subset X} als en slechts als V {\displaystyle V} alle omgevingen van x {\displaystyle x} snijdt.
behoort tot deDe verzameling V x {\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}} filter:
van alle omgevingen van een gegeven punt x {\displaystyle x} vormt eenMen noemt V x {\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}}
het omgevingenfilter van x {\displaystyle x} .