Complement (verzamelingenleer)

Uiterlijk naar zijbalk verplaatsen verbergen Het complement A c {\displaystyle A^{c}} van de deelverzameling A {\displaystyle A} van U {\displaystyle U} :
A c = U ∖ A {\displaystyle A^{c}=U\setminus A} .

In de verzamelingenleer is het complement van een deelverzameling A {\displaystyle A} gedefinieerd met betrekking tot een verzameling U {\displaystyle U} waarvan alle betrokken verzamelingen deel van zijn. Het complement van A {\displaystyle A} is de deelverzameling van U {\displaystyle U} bestaande uit alle elementen van U {\displaystyle U} die niet tot A {\displaystyle A} behoren.

De verzameling U {\displaystyle U} wordt in dit verband als universele verzameling aangeduid en het complement van A {\displaystyle A} genoteerd als

A c {\displaystyle A^{c}} of A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} ,

zonder verdere verwijzing naar U {\displaystyle U} ; dus:

A c = { x ∈ U ∣ x ∉ A } {\displaystyle A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}}

Is U {\displaystyle U} niet de universele verzameling, dan is er sprake van een relatief complement en is er geen speciale notatie. Het relatieve complement van A {\displaystyle A} ten opzichte van B {\displaystyle B} kan uitgedrukt worden als verschil

B ∖ A {\displaystyle B\setminus A}

of

B − A {\displaystyle B-A}

Eigenschappen

Het complement van het complement van een verzameling is de verzameling zelf:

( A c ) c = A {\displaystyle (A^{c})^{c}=A}

Samen met het complement vormt een verzameling de hele universele verzameling:

A c ∪ A = U {\displaystyle A^{c}\cup A=U}

Een verzameling heeft geen gemeenschappelijk element met zijn complement:

A c ∩ A = ∅ {\displaystyle A^{c}\cap A=\emptyset }

'Buiten' de universele verzameling is niets:

U c = ∅ {\displaystyle U^{c}=\emptyset } ∅ c = U {\displaystyle \emptyset ^{c}=U}

Regels van De Morgan:

( A ∪ B ) c = A c ∩ B c {\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}} ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c {\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}