In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is de Gaussiaanse kromming of Gauss-kromming van een punt op een oppervlak het product van de hoofdkrommingen, κ1 en κ2, van dit gegeven punt. Het is een intrinsieke maat van kromming, dat wil zeggen dat de waarde ervan alleen afhangt van hoe afstanden worden gemeten op het oppervlak, en niet van de manier waarop een punt op een oppervlak is ingebed in de ruimte. Dit resultaat is de inhoud het theorema egregium van Gauss.
Symbolisch wordt de Gaussiaanse kromming Κ gedefinieerd als
K = κ 1 κ 2 {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}} .waar κ 1 {\displaystyle \kappa _{1}} en κ 2 {\displaystyle \kappa _{2}} de hoofdkrommingen zijn.
De Gaussiaanse kromming wordt ook gegeven door
K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}}} ,waar ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} de covariante afgeleide en g de metrische tensor is.
Op een punt p op een regelmatig oppervlak in R3 wordt de Gaussiaanse kromming gegeven door
K ( p ) = det ( S ( p ) ) {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} ))} ,waar S de vormoperator is.
Een bruikbare formulering voor de Gaussiaanse kromming is de vergelijking van Liouville in termen van de Laplaciaan in isotherme coördinaten.
We geven het oppervlak met behulp van de impliciete functiestelling weer als de grafiek van een functie, f, van twee variabelen, en nemen aan dat het punt p een kritisch punt is, namelijk het punt waar de helling van f verdwijnt (dit altijd kan worden bereikt door een geschikte starre beweging). De Gaussiaanse kromming van het oppervlak in p is dan de determinant van de Hessiaanse matrix van f (zijnde de producten van de eigenwaarden van de Hessiaan). Breng in herinnering dat de Hessiaan de 2-bij-2 matrix is van tweede afgeleiden. Deze definitie maakt het mogelijk het onderscheid tussen cup/cap versus zadelpunt gedrag in algebraïsche termen te begrijpen.
De oppervlakte-integraal van de Gaussiaanse kromming over enige regio van een oppervlak wordt de totale kromming genoemd. De totale kromming van een geodetische driehoek is gelijk aan de afwijking van de som van haar hoeken van π {\displaystyle \pi } . De som van de hoeken van een driehoek op een oppervlak met positieve kromming is groter dan π {\displaystyle \pi } , terwijl de som van de hoeken van een driehoek op een oppervlak met negatieve kromming kleiner zal zijn dan π {\displaystyle \pi } . Op een oppervlak met nulkromming, zoals het Euclidische vlak zullen de hoeken tot precies π {\displaystyle \pi } optellen.
∑ i = 1 3 θ i = π + ∬ T K d A {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA} .Een meer algemeen resultaat is de stelling van Gauss-Bonnet.
Gauss zijn Theorema egregium (Latijn: "opmerkelijke stelling") stelt dat de Gaussiaanse kromming van een oppervlak kan worden bepaald uit metingen van de lengte op het oppervlak zelf. In feite kan de Gaussiaanse kromming worden gevonden op basis van volledige kennis van de eerste fundamentele vorm en kan worden uitgedrukt via de eerste fundamentele vorm en haar partiële afgeleiden van de eerste en de tweede orde.
In de hedendaagse differentiaalmeetkunde is een "oppervlak", abstract gezien, een twee-dimensionale differentieerbare variëteit. Om dit standpunt te verbinden met de klassieke theorie van oppervlakken, wordt zo'n abstract oppervlak ingebed in R3 en uitgerust met de Riemann-metriek, gegeven door de eerste fundamentele vorm. Neem aan dat het beeld van de inbedding een oppervlak S in R3 is. Een lokale isometrie is een diffeomorfisme f: U → V tussen open regios van R3, waarvan de beperking tot S ∩ U een isometrie op en naar zijn beeld is. Het Theorema egregium wordt dan als volgt gesteld:
De Gaussiaanse kromming van een ingebed glad oppervlak in R3 is invariant onder lokale isometrieënBijvoorbeeld, De Gaussiaanse kromming van een cilindrische buis is bijvoorbeeld nul, precies hetzelfde als voor een "uitgerolde" buis (die plat is). Aan de andere kant, aangezien een sfeer met straal R een constante positieve kromming R−2 en een plat vlak een constante kromming 0 heeft, zijn deze twee oppervlakken zelfs lokaal niet isometrisch. Elke vlakke weergave van zelfs maar een deel van een sfeer vervormt dus de afstanden. Om die reden bestaat er geen perfecte cartografische projectie.
De stelling van Gauss-Bonnet verbindt de totale kromming van een oppervlak met haar Euler-karakteristiek en vormt een belangrijke schakel tussen lokale meetkundige eigenschappen en globale topologische eigenschappen.