Voorwaardelijke verwachte waarde



Het internet is een onuitputtelijke bron van kennis, ook als het gaat om Voorwaardelijke verwachte waarde. Eeuwen en eeuwen van menselijke kennis over Voorwaardelijke verwachte waarde zijn in het net gegoten, en worden nog steeds in het net gegoten, en juist daarom is het zo moeilijk om er toegang toe te krijgen, omdat we plaatsen kunnen vinden waar de navigatie moeilijk of zelfs onuitvoerbaar kan zijn. Ons voorstel is dat u geen schipbreuk lijdt in een zee van gegevens betreffende Voorwaardelijke verwachte waarde en dat u alle poorten van wijsheid snel en efficiënt zult kunnen bereiken.

Met dat doel voor ogen hebben wij iets gedaan dat verder gaat dan het voor de hand liggende, namelijk het verzamelen van de meest actuele en best uitgelegde informatie over Voorwaardelijke verwachte waarde. We hebben het ook zo ingedeeld dat het gemakkelijk te lezen is, met een minimalistisch en aangenaam ontwerp, wat zorgt voor de beste gebruikerservaring en de kortste laadtijd. We maken het u gemakkelijk, zodat u zich alleen maar zorgen hoeft te maken over het leren van alles over Voorwaardelijke verwachte waarde! Dus als je denkt dat we ons doel bereikt hebben en je al weet wat je wilde weten over Voorwaardelijke verwachte waarde, dan zouden we je graag terugzien in deze kalme zeeën van sapientianl.com wanneer je honger naar kennis weer is aangewakkerd.

In de kansrekening en statistiek, de conditionele verwachte waarde beschrijft de verwachte waarde van een willekeurige variabele onder de voorwaarde dat aanvullende informatie over de uitkomst van de onderliggende willekeurige experiment is beschikbaar. De voorwaarde kan bijvoorbeeld zijn dat bekend is of een bepaalde gebeurtenis heeft plaatsgevonden of welke waarden een andere willekeurige variabele heeft aangenomen; abstract kan de aanvullende informatie worden opgevat als een deelruimte van de onderliggende gebeurtenisruimte .

Abstracte voorwaardelijke verwachtingswaarden en, in een speciaal geval, voorwaardelijke kansen daarvan , veralgemenen het elementaire concept van voorwaardelijke kans in kansrekening en statistiek .

Voorwaardelijke verwachtingswaarden spelen een belangrijke rol in de moderne stochastiek , bijvoorbeeld bij het onderzoek naar stochastische processen , en worden onder meer gebruikt bij de definitie van martingalen .

interpretatie

De vorming van de voorwaardelijke verwachtingswaarde is als het ware een afvlakking van een willekeurige variabele op een partiële -algebra . -algebramodel beschikbare informatie, en een afgevlakte versie van de willekeurige variabele, die al kan worden gemeten op een gedeeltelijke -algebra , bevat minder informatie over de uitkomst van een willekeurig experiment. De vorming van de voorwaardelijke verwachting gaat hand in hand met een vermindering van de waarnemingsdiepte; de voorwaardelijke verwachting reduceert de informatie over een willekeurige variabele tot een willekeurige variabele die eenvoudiger is in termen van meetbaarheid, vergelijkbaar met hoe, in het uiterste geval, de verwachte waarde van een willekeurige variabele reduceert de informatie tot een enkel getal.

verhaal

Het concept, dat in sommige opzichten erg oud is ( Laplace berekende al voorwaardelijke dichtheden), werd in 1933 geformaliseerd door Andrei Kolmogorow met behulp van de stelling van Radon-Nikodym . In het werk van Paul Halmos in 1950 en Joseph L. Doob in 1953 werden voorwaardelijke verwachtingen omgezet in de vorm van partiële -algebra's op abstracte ruimtes die tegenwoordig gebruikelijk zijn.

invoering

Als een gebeurtenis wordt gegeven met , geeft de voorwaardelijke kans

hoe waarschijnlijk de gebeurtenis is, gegeven de informatie dat de gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Dienovereenkomstig is er de voorwaardelijke verwachte waarde

welke waarde men gemiddeld verwacht voor de stochastische variabele wanneer men de informatie heeft dat de gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Hier is de indicatorfunctie van , d.w.z. de willekeurige variabele die de waarde aanneemt wanneer deze zich voordoet en wanneer niet.

Voorbeeld: het nummer zijn bij het gooien van een gewone dobbelsteen en de gebeurtenis zijn om een 5 of 6 te gooien. Vervolgens

.

Dit elementaire concept van voorwaardelijke kansen en verwachte waarden is echter vaak niet voldoende. Waar we eerder naar op zoek zijn, zijn voorwaardelijke kansen en voorwaardelijke verwachte waarden in de vorm

(a)     of   ,

als je weet dat een willekeurige variabele een waarde heeft ,

(b)     of   ,

als men de waarde gevonden bij (a) beschouwt als een willekeurige variabele (afhankelijk van ),

(c)     of   ,

als men voor elke gebeurtenis in een -algebra de informatie heeft of deze al dan niet heeft plaatsgevonden.

In tegenstelling tot (a) zijn de uitdrukkingen in (b) en (c) zelf willekeurige variabelen , omdat ze nog steeds afhankelijk zijn van de willekeurige variabele of de realisatie van de gebeurtenissen in . de verwachtingswaarde van Y onder conditie B wordt vaak gesproken. en wordt gegeven door Y verwachte waarde X of gegeven verwachte waarde van Y gesproken.

De opgegeven varianten van voorwaardelijke kansen en verwachte waarden zijn allemaal aan elkaar gerelateerd. In feite is het voldoende om slechts één variant te definiëren, omdat ze allemaal van elkaar kunnen worden afgeleid:

  • Voorwaardelijke kansen en voorwaardelijke verwachtingswaarden bevatten hetzelfde: Voorwaardelijke verwachtingswaarden kunnen, net als gewone verwachtingswaarden , worden berekend als sommen of integralen uit voorwaardelijke kansen. Omgekeerd is de voorwaardelijke kans op een gebeurtenis gewoon de voorwaardelijke verwachte waarde van de indicatorfunctie van de gebeurtenis: .
  • De varianten in (a) en (b) zijn equivalent. De willekeurige variabele heeft de waarde voor het resultaat , i. H. men krijgt voor de waarde wanneer men observeert voor de waarde . Omgekeerd, als het wordt gegeven, kan men altijd een uitdrukking vinden die afhankelijk is van , zodat deze relatie wordt vervuld. Hetzelfde geldt voor voorwaardelijke verwachte waarden.
  • De varianten in (b) en (c) zijn ook equivalent, omdat men als verzameling van alle gebeurtenissen van de vorm kan kiezen (de -algebra gegenereerd door ), en vice versa als de familie .

Discrete behuizing

We beschouwen hier het geval dat geldt voor alle waarden van . Dit geval is bijzonder gemakkelijk te behandelen omdat de elementaire definitie volledig van toepassing is:

De functie (waar het argument voor staat) heeft alle eigenschappen van een kansmaat , het is een zogenaamde reguliere voorwaardelijke kans. De conditionele verdeling van een willekeurige variabele is dus ook een heel gewone kansverdeling . De verwachte waarde van deze verdeling is de voorwaardelijke verwachtingswaarde van , gegeven :

Is het ook discreet, dan geldt het volgende following

waarbij alles in het waardebereik van wordt opgeteld.

voorbeeld

en het aantal pips zijn in twee onafhankelijke worpen met een gewone dobbelsteen en de som van de pitten. De verdeling van wordt gegeven door , . Maar als we de uitslag van het eerste nest weten en weten dat we z. B. nadat we de waarde hebben gerold, krijgen we de voorwaardelijke verdeling

.

De verwachte waarde van deze verdeling, de voorwaardelijke verwachting van gegeven is,

.

Meer in het algemeen geldt voor alle waarden van

.

Als we de waarde van vervangen , krijgen we de voorwaardelijke verwachting van , gegeven :

.

Deze uitdrukking is een willekeurige variabele; als het resultaat is opgetreden, heeft de waarde en de waarde

.

Stelling over totale kans

De kans op een gebeurtenis kan worden berekend door te ontbinden volgens de waarden van :

Meer in het algemeen geldt de formule voor elke gebeurtenis in -algebra

.

De equivalente formulering wordt verkregen met behulp van de transformatieformule voor de afbeeldingsdimensie

.

Algemeen geval

In het algemene geval is de definitie veel minder intuïtief dan in het discrete geval, omdat men niet langer kan aannemen dat de gebeurtenissen waaraan men is geconditioneerd een waarschijnlijkheid hebben .

Een voorbeeld

We beschouwen twee onafhankelijke standaard normaal verdeelde willekeurige variabelen en . Zonder veel nadenken kan men ook de voorwaardelijke verwachte waarde, gegeven , van de willekeurige variabele , d.w.z. H. de gemiddelde waarde die men verwacht voor de uitdrukking als men weet:

   of.   

Zoals eerder is het zelf een willekeurige variabele, voor de waarde waarvan alleen de -algebra die wordt gegenereerd door bepalend is. Als dat bijvoorbeeld is , krijgen we ook .

Het probleem komt voort uit de volgende overweging: De gegeven vergelijkingen nemen aan dat er een standaard normale verdeling is voor elke individuele waarde van . In feite zou men ook kunnen aannemen dat in het geval dat constante de waarde heeft en standaard normaal verdeeld is, alleen in de andere gevallen: aangezien de gebeurtenis de kans heeft en over het algemeen nog steeds onafhankelijk en standaard normaal verdeeld zou zijn. Maar je zou in plaats daarvan krijgen . Hieruit blijkt dat de voorwaardelijke verwachtingswaarde niet duidelijk gedefinieerd is en dat het alleen zinvol is om de voorwaardelijke verwachtingswaarde voor alle waarden van tegelijk te definiëren, aangezien deze voor individuele waarden naar wens kan worden gewijzigd.

De aanpak van Kolmogorov

Omdat de elementaire definitie niet overdraagbaar is naar het algemene geval, rijst de vraag welke eigenschappen men zou willen behouden en welke men bereid is af te zien. De benadering die tegenwoordig algemeen wordt gebruikt, die teruggaat tot Kolmogorow (1933) en die bijzonder nuttig is gebleken in de theorie van stochastische processen , vereist slechts twee eigenschappen:

(1) zou een meetbare functie moeten zijn van . Overgezet naar de -algebra betekent dit dat een -meetbare willekeurige variabele zou moeten zijn.

(2) In analogie met de stelling over de totale kans, de vergelijking

worden voldaan.

Het is onder andere niet verplicht

  • dat voorwaardelijke kansen duidelijk zijn gedefinieerd,
  • dat er altijd een kansmaat is,
  • het pand .

Voor voorwaardelijke verwachtingswaarden heeft (2) de vorm

voor alle verzamelingen waarvoor de integralen zijn gedefinieerd. Met indicatorfuncties kan deze vergelijking worden geschreven als

.

In deze vorm wordt de vergelijking gebruikt in de volgende definitie.

Formele definitie

Gladmakende eigenschap: hier is de uniforme verdeling op , de -algebra gegenereerd door de intervallen met eindpunten 0, ¼, ½, ¾, 1 en de -algebra gegenereerd door de intervallen met eindpunten 0, ½, 1. De vorming van de voorwaardelijke verwachtingswaarde veroorzaakt een afvlakking binnen de bereiken beschreven door de -algebra's.

Een kansruimte en een partiële -algebra worden gegeven .

Laat (1) een willekeurige variabele zijn waarvan de verwachte waarde bestaat. De voorwaardelijke verwachting van , gegeven , is een willekeurige variabele die aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

  • is meetbaar en
  • voor allemaal waar .

De verzameling van alle resultaten (dus alle elementen van ) waarbij twee voorwaardelijke verwachtingswaarden afwijken van gegeven (versies van de voorwaardelijke verwachtingswaarde) is een nulverzameling ( vervat in) . Hierdoor kan de uniforme notatie voor een voorwaardelijke verwachtingswaarde van gegeven worden gerechtvaardigd.

De notatie geeft de voorwaardelijke verwachting van , waar de -algebra gegenereerd door de willekeurige variabele wordt gegeven.

(2) De voorwaardelijke kans op een gebeurtenis , gegeven , wordt gedefinieerd als de willekeurige variabele

,

NS. H. dan de voorwaardelijke verwachting van de indicatorfunctie van .

Aangezien de voorwaardelijke kansen van verschillende gebeurtenissen dus worden gedefinieerd zonder naar elkaar te verwijzen en niet duidelijk zijn gedefinieerd, is er in het algemeen geen behoefte aan een kansmaatstaf . Als dit echter het geval is, i. H. als de voorwaardelijke kansen , tot een stochastische kern van samen te vatten,

    voor iedereen   ,

men spreekt van reguliere voorwaardelijke kans . Een concrete versie van de voorwaardelijke verwachting is dan beschikbaar als een integraal

gegeven.

Factoring:De voorwaardelijke verwachting , die is gedefinieerd als een willekeurige variabele (d.w.z. een functie van ), kan ook worden weergegeven als een functie van : Er is een meetbare functie zodanig dat

    voor iedereen   .

Hiermee kan men formeel verwachte waarden definiëren, afhankelijk van individuele waarden:

.

Bij het gebruik van dergelijke uitdrukkingen moet speciale aandacht worden besteed aan het gebrek aan uniciteit in het algemene geval.

Bestaan: Het algemene bestaan van voorwaardelijke verwachtingswaarden voor integreerbare willekeurige variabelen (willekeurige variabelen die een eindige verwachtingswaarde hebben), dus in het bijzonder van voorwaardelijke kansen, volgt uit de stelling van Radon-Nikodým ; de definitie zegt niets anders dan dat een dichtheid van de ondertekende maat gerelateerd is aan de maat , beide gedefinieerd op de meetruimte . De definitie kan nog enigszins worden gegeneraliseerd, zodat men ook gevallen kan dekken zoals voor een door Cauchy verdeelde willekeurige variabele.

Regelmatige voorwaardelijke kansen, ook in factored vorm, bestaan in Poolse ruimten met de Borel algebra , meer in het algemeen geldt het volgende: Als een willekeurige variabele met waarden in een Poolse ruimte staat, dan is er een versie van de verdeling in de vorm van een stochastische kern :

    voor iedereen  

Speciale gevallen

(1) De triviale -algebra resulteert in eenvoudige verwachtingswaarden en kansen:

   voor iedereen  
   voor iedereen  

Dienovereenkomstig, en voor alle voorwaarden, is de waarde van een constante willekeurige variabele van toepassing .

(2) Eenvoudige -algebra's: Als met , en geen deelverzamelingen heeft behalve zichzelf en de lege verzameling , dan komt de waarde van op overeen met de conventionele voorwaardelijke kans :

    voor bijna iedereen  

Dit toont aan dat de bovenstaande berekeningen consistent zijn met de algemene definitie in het discrete geval.

(3) Berekenen met dichtheden: Als een begrensde dichtheidsfunctie van de gemeenschappelijke verdeling van willekeurige variabelen is , dan

een dichtheid van een reguliere voorwaardelijke verdeling in de gefactoriseerde vorm en geldt voor de voorwaardelijke verwachtingswaarde

.

(4) Reguliere voorwaardelijke verdelingen kunnen ook gegeven worden in de volgende gevallen:

  • if is onafhankelijk van , in de vorm ,
  • indien -meetbaar, in de vorm ,
  • voor het paar , indien -meetbaar, in de vorm , op voorwaarde dat een regelmatige voorwaardelijke verdeling van wordt gebruikt om de uitdrukking aan de rechterkant te berekenen .

Rekenregels

Alle volgende uitspraken zijn vrijwel zeker ( - bijna overal ) alleen geldig zolang ze voorwaardelijke verwachte waarden bevatten. In plaats van u kunt u ook een willekeurige variabele schrijven.

  • Onafhankelijke factoren extraheren:
    • Is onafhankelijk van , dan geldt .
    • Is onafhankelijk van en van , dan geldt .
    • Zijn onafhankelijk, onafhankelijk, van en van onafhankelijk, dan geldt
  • Bekende factoren extraheren:
    • Indien -meetbaar, dan geldt .
    • Indien -meetbaar, dan geldt .
  • Totale verwachte waarde: .
  • Toreneigenschap: Voor partiële -algebra's geldt het volgende .
  • Lineariteit: Het is van toepassing op en voor .
  • Monotonie: Van volgt .
  • Monotone convergentie : uit en volgt .
  • Gedomineerde convergentie : uit en met volgt .
  • Lemma van Fatou : Hieruit volgt .
  • De ongelijkheid van Jensen : is een convexe functie , dan geldt het volgende .
  • Voorwaardelijke verwachtingswaarden als -projecties: de eerdere kenmerken (met name de extractie van bekende factoren en de toreneigenschap ) om te impliceren voor -messbares
    ,
NS. H. de voorwaardelijke verwachting is in de zin van het scalaire product van L 2 ( P ) de orthogonale projectie van de deelruimte van de meetbare functies, i. H. is de beste benadering van door een -meetbare functie van . De definitie en het bewijs van het bestaan van de voorwaardelijke verwachting kan met deze benadering ook worden gebouwd op de theorie van Hilbertruimten en de projectiestelling .
  • Voorwaardelijke variantie : Met behulp van voorwaardelijke verwachtingswaarden kan, analoog aan de definitie van de variantie als de gemiddelde kwadratische afwijking van de verwachte waarde, ook rekening worden gehouden met de voorwaardelijke variantie . Het schakeltarief is van toepassing
evenals de zogenaamde variantie-decompositie
.
  • Martingale convergentie : Voor een stochastische variabele met een eindige verwachting geldt het volgende als ofwel een toenemende reeks partiële -algebra's is en of als er een afnemende reeks partiële -algebra's is en .

Verdere voorbeelden

(1) We beschouwen het voorbeeld uit het discrete geval hierboven. en het aantal pips zijn in twee onafhankelijke worpen met een gewone dobbelsteen en de som van de pitten. De berekening van de voorwaardelijke verwachting van , gegeven , wordt vereenvoudigd met behulp van de rekenregels; in eerste instantie van toepassing

.

Omdat een meetbare functie is van en onafhankelijk is van , en . Dus we krijgen

.

(2) Als en onafhankelijk zijn en Poisson verdeeld met parameters en , dan is de voorwaardelijke verdeling van , gegeven , een binominale verdeling met parameters en , dat wil zeggen

Zo is het en zo .

literatuur

  • Achim Klenke: waarschijnlijkheidstheorie . 3. Uitgave. Springer-Verlag, Berlijn Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 .
  • Christian Hesse: Toegepaste kansrekening . 1e editie. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2 .

Individuele referenties en opmerkingen

  1. ^ Olav Kallenberg: Grondslagen van de moderne waarschijnlijkheid. 2e editie. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2 , blz. 573.
  2. a b Over het algemeen kun je bijvoorbeeld bijna overal inzetten .
  3. Deze factorisatie is altijd mogelijk als een meetbare functie. Het is over het algemeen dubbelzinnig, tenzij het is surjectief .
  4. De wiskundige formulering is gebaseerd op de volgende abstractie van de term "bekend": als de realisatie van een willekeurige variabele of van gebeurtenissen bekend is, is niet elke afhankelijke variabele, maar alleen elke meetbaar afhankelijke variabele ook automatisch bekend (of preciezer alleen degenen die een -algebra genereren die een subset is van de andere). In die zin zijn -algebra's geschikt om beschikbare informatie te beschrijven : De -algebra bestaat uit de gebeurtenissen waarvan de realisatie in principe bekend is na ontvangst van de informatie over de waarde van . De set wordt algemeen aangenomen dat een -algebra.
  5. A. Kolmogoroff: Basisbegrippen van de kansrekening . Springer, Berlijn 1933. In de inleiding van het boek wordt de theorie van voorwaardelijke kansen en verwachtingen genoemd als een belangrijke innovatie. Voor de definitie van de voorwaardelijke kans met betrekking tot een willekeurige variabele , gebruikt Kolmogorow (p. 42) de vergelijking , i. H. waaraan moet worden voldaan voor elke keuze van met ( de elementaire definitie wordt gebruikt voor de voorwaarde aan ). In het daaropvolgende bewijs van bestaan en uniciteit laat Kolmogorow zien dat na vermenigvuldiging met de linkerkant van de vergelijking overeenkomt met, de rechterkant met , wat overeenkomt met de hierboven gegeven uitdrukkingen, maar hij werkt dan op het niveau van de beeldruimte van verder. De procedure is vergelijkbaar voor voorwaardelijke verwachtingen.

Opiniones de nuestros usuarios

Laura Buijs

Geweldig bericht over Voorwaardelijke verwachte waarde., Geweldig bericht over Voorwaardelijke verwachte waarde.

Christel Van Leeuwen

In deze post over Voorwaardelijke verwachte waarde_ heb ik dingen geleerd die ik niet wist, dus ik kan nu naar bed gaan

Alexander Heemskerk

Zeer interessant dit item over Voorwaardelijke verwachte waarde., Ik dacht dat ik alles al wist over Voorwaardelijke verwachte waarde., Zeer interessant dit item over Voorwaardelijke verwachte waarde.

Christel Van Der Berg

Dit bericht over Voorwaardelijke verwachte waarde heeft me een weddenschap gewonnen, wat minder om het een goede score te laten.