Sinusregel

Het eerste deel van de sinusregel wordt aan de hand van de eerste afbeelding onder bewezen:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {h_{c}}{b}}}$

${\displaystyle \sin \beta ={\frac {h_{c}}{a}}}$

Vrijmaken van ${\displaystyle h_{c}}$ geeft ${\displaystyle h_{c}=b\cdot \sin \alpha }$ en ${\displaystyle h_{c}=a\cdot \sin \beta }$, gelijkstellen van ${\displaystyle h_{c}}$ geeft ${\displaystyle a\cdot \sin \beta =b\cdot \sin \alpha }$ en omwerken geeft ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$.

Het bewijs voor ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ en ${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ gaat op dezelfde manier.

Het tweede deel van de sinuregel wordt aan de hand van de tweede afbeelding bewezen.

Teken bij ${\displaystyle \triangle ABC}$ de omschreven cirkel, bepaal daar het middelpunt ${\displaystyle M}$ van en teken de diameter ${\displaystyle AMD}$. ${\displaystyle \triangle ABD}$ is dan volgens de stelling van Thales voor cirkels een rechthoekige driehoek. ${\displaystyle \angle \gamma =\angle \delta }$, omdat de koorde ${\displaystyle c}$ de overstaande zijde van ${\displaystyle \angle \gamma }$ in ${\displaystyle \triangle ABC}$ en die van ${\displaystyle \angle \delta }$ in ${\displaystyle \triangle ABD}$ is.

${\displaystyle c\ =\ \sin \delta \ \cdot 2r}$, dus ${\displaystyle \sin \gamma =\sin \delta ={\frac {c}{2r}}}$ en ${\displaystyle {\frac {c}{\sin \gamma }}=2r}$.

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2r}$ en ${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}=2r}$ gaan weer op dezelfde manier.