Bovengrens en ondergrens

Uiterlijk naar zijbalk verplaatsen verbergen

In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling S {\displaystyle S} $S$ van een partieel geordende verzameling V {\displaystyle V} $V$ een element g ∈ V {\displaystyle g\in V} $g\in V$ waarvoor geldt dat x ≤ g {\displaystyle x\leq g} $x\leq g$ voor alle x ∈ S {\displaystyle x\in S} $x\in S$ . Als er een bovengrens is van S {\displaystyle S} $S$ , heet S {\displaystyle S} $S$ een naar boven begrensde deelverzameling van V {\displaystyle V} $V$ .

Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van S {\displaystyle S} $S$ gedefinieerd als een element k ∈ V {\displaystyle k\in V} $k\in V$ waarvoor geldt dat x ≥ k {\displaystyle x\geq k} $x\geq k$ voor alle x ∈ S {\displaystyle x\in S} $x\in S$ . Als er een ondergrens is van S {\displaystyle S} $S$ , heet S {\displaystyle S} $S$ een naar onder begrensde deelverzameling van V {\displaystyle V} $V$ .

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} $f\colon A\to B$ een getal g {\displaystyle g} $g$ is, waarvoor geldt dat f ( x ) ≤ g {\displaystyle f(x)\leq g} $f(x)\leq g$ voor alle x ∈ A {\displaystyle x\in A} $x\in A$ . Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: f ( x ) ≥ k {\displaystyle f(x)\geq k} $f(x)\geq k$ voor alle x ∈ A {\displaystyle x\in A} $x\in A$ .

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippen

Maximum en minimum

Indien er voor een deelverzameling S {\displaystyle S} $S$ van een partieel geordende verzameling V {\displaystyle V} $V$ een element M ∈ S {\displaystyle M\in S} $M\in S$ bestaat zodanig dat x ≤ M {\displaystyle x\leq M} $x\leq M$ voor alle x ∈ S {\displaystyle x\in S} $x\in S$ , dan heet M {\displaystyle M} $M$ het maximum van S {\displaystyle S} $S$ . Het maximum M {\displaystyle M} $M$ dient dus een bovengrens van S {\displaystyle S} $S$ te zijn en tevens tot S {\displaystyle S} $S$ te behoren. Men noteert: M = max ( S ) {\displaystyle M=\max(S)} $M=\max(S)$ .

Analoog is m ∈ S {\displaystyle m\in S} $m\in S$ een minimum van S {\displaystyle S} $S$ , indien voor alle x ∈ S {\displaystyle x\in S} $x\in S$ geldt dat m ≤ x {\displaystyle m\leq x} $m\leq x$ . Hier is m {\displaystyle m} $m$ dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert: m = min ( S ) {\displaystyle m=\min(S)} $m=\min(S)$ .

Supremum en infimum

De kleinste bovengrens van S {\displaystyle S} $S$ , als deze bestaat, wordt het supremum sup ( S ) {\displaystyle \sup(S)} $\sup(S)$ van S {\displaystyle S} $S$ genoemd. In feite is het supremum van S {\displaystyle S} $S$ het minimum van de majoranten van S {\displaystyle S} $S$ :

sup ( S ) = min { x ∈ V ∣ s ≤ x , voor alle s ∈ S } {\displaystyle \sup(S)=\min\{x\in V\mid s\leq x,{\text{ voor alle }}s\in S\}}

\sup(S)=\min\{x\in V\mid s\leq x,{\text{ voor alle }}s\in S\}

Analoog wordt de grootste ondergrens van S {\displaystyle S} $S$ , als deze bestaat, het infimum inf ( S ) {\displaystyle \inf(S)} $\inf(S)$ van S {\displaystyle S} $S$ genoemd. Het infimum van S {\displaystyle S} $S$ is het maximum van de minoranten van S {\displaystyle S} $S$ :

inf ( S ) = max { x ∈ V ∣ x ≤ s , voor alle s ∈ S } {\displaystyle \inf(S)=\max\{x\in V\mid x\leq s,{\text{ voor alle }}s\in S\}}

\inf(S)=\max\{x\in V\mid x\leq s,{\text{ voor alle }}s\in S\}

Eigenschappen

Laat S {\displaystyle S} $S$ een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling V {\displaystyle V} $V$ .

Als max ( S ) {\displaystyle \max(S)} $\max(S)$ bestaat, is dit maximum gelijk aan sup ( S ) {\displaystyle \sup(S)} $\sup(S)$ .
Als min ( S ) {\displaystyle \min(S)} $\min(S)$ bestaat, is dit minimum gelijk aan inf ( S ) {\displaystyle \inf(S)} $\inf(S)$ .
Als S {\displaystyle S} $S$ niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat sup ( S ) = + ∞ {\displaystyle \sup(S)=+\infty } $\sup(S)=+\infty$ .
Als S {\displaystyle S} $S$ niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat inf ( S ) = − ∞ {\displaystyle \inf(S)=-\infty } $\inf(S)=-\infty$ .

Voorbeelden

Neem de deelverzameling S = { 1 , 2 , 3 , 9 } {\displaystyle S=\{1,2,3,9\}} $S=\{1,2,3,9\}$ van R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ ; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van S {\displaystyle S} $S$ , aangezien voor ieder getal x ∈ S {\displaystyle x\in S} $x\in S$ geldt dat x ≤ 12 {\displaystyle x\leq 12} $x\leq 12$ . Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
Beschouw de volgende deelverzamelingen S {\displaystyle S} $S$ van de reële getallen R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

S {\displaystyle S} $S$	max ( S ) {\displaystyle \max(S)} $\max(S)$	sup ( S ) {\displaystyle \sup(S)} $\sup(S)$	min ( S ) {\displaystyle \min(S)} $\min(S)$	inf ( S ) {\displaystyle \inf(S)} $\inf(S)$
{\displaystyle } $\text{[math]}$	1	1	0	0
( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} $(0,1)$	-	1	-	0
R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$	-	+ ∞ {\displaystyle +\infty } $+\infty$	-	− ∞ {\displaystyle -\infty } $-\infty$
{ 1 n \| n ∈ N + } {\displaystyle \{{\tfrac {1}{n}}\|n\in \mathbb {N} ^{+}\}} $\{{\tfrac {1}{n}}\|n\in \mathbb {N} ^{+}\}$	1	1	-	0

Neem de functie f : R → R ; f ( x ) = 4 − x 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;f(x)=4-x^{2}} $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;f(x)=4-x^{2}$ . Elke u ∈ [ 4 , ∞ ) {\displaystyle u\in [4,\infty )} $u\in [4,\infty )$ is een bovengrens van f {\displaystyle f} $f$ . De functie heeft geen minimum, maar wel is max ( f ) = sup ( f ) = 4 {\displaystyle \max(f)=\sup(f)=4} $\max(f)=\sup(f)=4$ .

Zie ook

Relatieve chronologie (boven- en ondergrens van een onbekend tijdstip)